MATEMÁTICAS - 1º BACHILLERATO CCSS - DISTRIBUCIÓN NORMAL ˆ EJERCICIO 42. (a) P (X > 215) = P ( )

Transcripción

1 MATEMÁTICAS - 1º BACHILLERATO CCSS - DISTRIBUCIÓN NORMAL ˆ EJERCICIO 0 Supón que en cierta población pediátrica, la presión sistólica de la sangre en reposo se distribuye normalmente con media de 11 mm HG y desviación típica de 1. a Halla la probabilidad de que un niño elegido al azar en esta población tenga presión sistólica superior a 1 mm Hg. b ¾Por debajo de qué valor de presión sistólica estará el 7% de los niños? Sea X la variable que expresa en mm Hg la presión sistólica de la sangre en reposo. Se trata de una distribución N11; 1. a P X > 1 = P Z > = P Z > = 1 P Z = = 0 08 b Hemos de calcular el valor de la abscisa, tal que: P X x = 0 7 P Z x 11 1 = 0 7 En la tabla encontramos P Z 0 67 = y P Z 0 68 = probabilidad que más se aproxima. inferior a 1 mm Hg. ˆ EJERCICIO 1 Tomamos 0'67, ya quele corresponde la x 11 1 = 0 67 x = 1 0. Por tanto, el 7% de los niños tendrá una presión sistólica Se sabe que los resulados de un examen de Filosofía se distribuyen según una distribución normal con una media de 7 y una varianza de. Se pide: a La probabilidad de que un estudiante que se presenta al examen obtenga una calicación superior a 8. b La calicación mínima para aprobar si se desea que solamente superen la prueba el 33% de los estudiantes. Sea X la variable que indica los resultados del examen, se trata de una N7;. a P X > 8 = P Z > 8 7 = P Z > 0 = 1 P Z 0 = = b Si x 0 es la puntuación mínima buscada, se desea que: 0 33 = P X > x 0 = 1 P X x = P X x 0 = P Z x0 7 En la tabla encontramos P Z 0 = 0 67 x0 7 = 0 x 0 = La calicación mínima para que apruebe el 33% de los alumnos es, por tanto, 7'88. ˆ EJERCICIO Una empresa fabrica sacos de plástico diarios. El peso de cada saco sigue una distribución normal de media 00 gramos y desviación típica gramos. Determina en la producción diaria: a El número de sacos que pesan más de 1 gramos. b El número de sacos que pesan entre 190 y 00 gramos. c El intervalo de pesos que contienen los.981 sacos más ligeros. Sea X la variable que indica el peso de los sacos. Se trata de una distribución normal N00;. a P X > 1 = P Z > 1 00 = P Z > 3 = 1 P Z 3 = = b P 190 < X < 00 = P < Z < 0 = P < Z < 0 = P Z < 0 P Z = = P Z < 0 [1 P Z ] = = 0 77 Para sacos: = 77 sacos pesan entre 190 y 00 g. c Hay que calcular el peso x 0 tal que P 0 < X < x 0 = = P 0 < X < x 0 = P 0 00 < Z < x0 00 = P 0 < Z < x 0 00 P Z < x0 00 P Z < 0 = Como P Z < 0 = 0 P Z < x0 00 = Buscamos en las tablas P Z A = Encontramos P Z 0 3 = x 0 00 = 0 3; x 0 = = Por tanto, el intervalo pedido es 0; g.

2 ˆ EJERCICIO 3 Se ha aplicado un test de uidez verbal a 00 alumnos de primero de ESO de un centro de secundaria. Se supone que las puntuaciones obtenidas se distribuyen según una normal de media 80 y desviación típica 1. a ¾Qué puntuación separa al % de los alumnos con menos uidez verbal? b ¾A partir de qué puntuación se encuentra el % de los alumnos con mayor uidez verbal? Sea X la variable que indica las puntuaciones obtenidas. Se trata de una distribución N80; 1. a Sea x 1 el valor de la variable que separa el % de los alumnos con menor uidez verbal. 0 = P X x 1 = P Z x Buscamos en las tablas P Z A = 0 7. Encontramos P Z 0 67 = y P Z 0 68 = Tomamos 0'67, ya que es el valor cuya probabilidad más se aproxima. x = 0 67 x 1 = = Por tanto, el % de los alumnos con menor uidez verbal obtiene puntuaciones en el test inferiores a 71'96. b Sea x el valor de la variable que separa el % de los alumnos con mayor uidez verbal. 0 = P X > x = 1 P X x 0 7 = P X x = P Z x Encontramos P Z 0 67 = y P Z 0 68 = tomamos 0'67, ya que el el valor cuya probabilidad más se aproxima. x 80 1 = 0 67 x = = Por tanto, el % de los alumnos con mayor uidez en el test obtendrán puntuaciones superiores a 88'0. ˆ EJERCICIO Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 1. Determina el porcentaje de población que obtendría un coeciente entre 9 y 110. ¾Qué intervalo centrado en 100 contiene el 0% de la población? En una población de.00 individuos, ¾cuántos de ellos se espera que tengan un coeciente superior a 1? Sea X la variable aleatoria que expresa el valor del coeciente de inteligencia. Se trata de una distribución N100; 1. P 9 X 110 = P Z = P 0 33 Z 0 67 = P Z 0 67 P Z 0 33 = = [1 P Z 0 33] = = Luego el 38% de la población tiene coecientes de inteligencia entre 9 y 110. P z Z z = 0 P 0 Z z = 0 0 = P Z z P Z 0 = P Z z 0 P Z z = 0 7 Encontramos P Z 0 67 = y P Z 0 68 = Tomamos 0'67, ya que es el valor cuya probabilidad más se aproxima. x = 0 678; x = = Por tanto, el intervalo pedido es 89 9; P X > 1 = P Z > = P Z > 1 67 = 1 P Z 1 67 = = En una población de.00 individuos se espera que haya aproximadamente = 119. ˆ EJERCICIO El peso de los adultos de una población numerosa se distribuye normalmente con media 6 kg y desviación típica 3 kg. Se eligen dos individuos al azar. Calculando las correspondientes probabilidades, justica qué es más probable: a Que cada uno de los individuos tenga un peso comprendido entre 63' y 66' kg. b Que uno de ellos tenga un peso comprendido entre 6 y 68 kg y el otro tenga un peso no comprendido entre 6 y 68 kg. Sea X la variable aleatoria que expresa el peso, en kg, de un adulto. Se trata de una distribución N6; 3. a P individuos pesen entre 63' y 66' = P 63 X 66 P 63 X 66 = [ ] = [P 63 X 66 ] 63 = P 6 3 Z = [P 0 Z 0 ] = = [P Z 0 P Z 0 ] = [ P Z 0 1] = = b P 6 X 68 = P Z = P 1 Z 1 = P Z 1 P Z 1 = = P Z 1 1 = = 0 686

3 P uno pese entre 6 y 68, y el otro no = P 6 X 68 [1 P 6 X 68] = = = Multiplicamos por, ya que existen dos formas de que uno tenga su peso en el intervalo descrito y el otro no, y al revés. Luego es más probable el segundo caso que el primero. ˆ EJERCICIO 6 En la ciudad A, la edad de sus habitantes sigue una distribución normal con media de 1 años y desviación típica de 1 años. En la ciudad B, con el doble de habitantes, la edad se distribuye normalmente con media de 7 años y desviación típica de 8 años. a ¾En cuál de las dos ciudades es mayor la proporción de habitantes mayores de 6 años? b ¾Cuál de las dos ciudades tiene mayor número de habitantes con edad superior a 6 años? Ciudad A: N1 años; 1 años n = habitantes Ciudad B: N7 años; 8 años n = habitantes a Ciudad A: P X > 6 = P Z = P Z = 1 P Z = = El '8% de los habitantes de la ciudad A son mayores de 6 años. Ciudad B: P X > 6 = P Z = P Z = 1 P Z = = El 1'% de los habitantes de la ciudad B son mayores de 6 años. Así, la ciudad A, en proporción, tiene más habitantes mayores de 6 años que la ciudad B. b Ciudad A: = 9.10 habitantes mayores de 6 años. Ciudad B: = habitantes mayores de 6 años. La ciudad B tiene más habitantes mayores de 6 años. ˆ EJERCICIO 7 En una población de.000 individuos adultos, su perímetro torácico se distribuye normalmente con media de 90 cm y desviación típica de cm. a ¾Cuántos individuos tienen un perímetro torácico interior a 86' cm? b ¾Cuántos individuos tienen un perímetro torácico entre 86' y 93'6 cm? c ¾Qué perímetro torácico ha de tener un individuo de esa población para que el 3% lo tenga inferior a él? Sea X la variable aleatoria que expresa la medida en cm del perímetro torácico. Se trata de una distribución N90;. a P X < 86 = P Z < = P Z < 0 9 = 1 P Z 0 9 = = En.000 individuos habrá = con perímetro torácico inferior a 86' cm. b P 86 < X < = P 90 < Z < = P 0 9 < Z < 0 9 = P Z < 0 9 P Z < 0 9 = = = En.000 individuos habrá = 1.79 con perímetro torácico entre 86' cm y 93' cm. c Hay que buscar el valor x tal que: 0 3 = P X < x. Buscamos en las tablas P Z A = Encontramos P Z 0 73 = y P Z 0 7 = Tomamos 0'7. x 90 = 0 7 x = = 87 0 cm ˆ EJERCICIO 8 El tiempo empleado por los estudiantes con relación a cierta prueba se distribuye normalmente con media de 30 minutos y desviación típica de. a ¾Cuál es la probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, tarde menos de 8 minutos en nalizar la prueba? b Calcula la proporción de estudiantes que emplean entre y 3 minutos. c ¾Qué tiempo emplea como máximo el 80% de los estudiantes?

4 Sea X la variable que indica el tiempo, en minutos, en realizar la prueba. Se trata de una normal N30;. a P X < 8 = P Z < 8 30 = P Z < 0 = 0 6 b P < X3 = P 30 < Z < 3 30 = P 1 Z 1 = P Z 1 P Z 1 = = P Z 1 1 = = El 68'6% de los estudiantes emplea entre y 3 minutos. c 0 8 = P X < x = P Z < x 30. En las tablas encontramos P Z 0 8 = y P Z 0 8 = Tomamos 0 8 x 30 = 0 8 x = = 3. El 80% de los alumnos emplea aproximadamente 3 minutos. ˆ EJERCICIO 9 Una normativa europea no permite que en los envases de yogur haya menos de 10 gramos. La máquina dosicadora de una empresa láctea hace los envases de yogur según una ley normal de desviación estándar de gramos y media de 1 gramos. a ¾Qué tanto por ciento de los envases de yogur de esta empresa cumplirá la normativa? b ¾Cuál deberá ser la media µ de la ley normal con la cual la máquina dosicadora hace los envases para que el 98% de la producción de yogures de esta empresa cumpla la normativa? a Sea X la variable aleatoria que expresa el peso de los yogures. Se trata de una distribución N1;. P X 10 = P Z 10 1 = P Z 1 = P Z 1 = El 8'13% de los envases de yogur de esta empresa cumple la normativa. b Sea µ la media buscada, x µ = 10 µ ; P Z 10 µ = Buscamos en la tabla y encontramos P Z 0 = y P Z 0 = µ = 0 µ = = 1 1 gramos. ˆ EJERCICIO 0 El diámetro medio de las piezas producidas en una fábrica es de mm. a Determina su desviación típica sabiendo que la probabilidad de que una pieza tenga su diámetro mayor de 0 mm es igual a 0'006. b Si se analizaron 80 piezas, ¾cuántas tendrán el diámetro comprendido entre 39'7 y 3' mm? Sea X la variable que indica el diámetro de las piezas fabricadas. Es una distribución normal de media y desviación típica desconocida σ. a Sabemos que P X > 0 = P X 0 = P Z 0 σ = ; buscando en las tablas resulta 0 σ = σ =. b P 39 7 X 3 39 = P 7 Z 3 = P 6 Z 0 7 = P 0 7 Z 6 = = P Z 6 P Z 0 7 = = 0 6 Por tanto, de 80 piezas se espera que haya aproximadamente = 183 con diámetro comprendido entre 39'7 y 3' mm. ˆ EJERCICIO 1 Dos componentes A y B de un sistema funcionan independientemente, distribuyéndose el rendimiento de A según una normal de media 6 y desviación típica 1'; y el rendimiento de B, según una normal de media 3 y desviación típica 3'. El sistema funciona si el rendimiento de A está entre 3 y 7', y el de B, entre 37' y 8'6. ¾Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione? Llamamos: P rendimiento de A está entre 3 y 3'7 = P 3 < r A < 7 P rendimiento de B está entre 37' y 8'6 = P 37 < r B < 8 6 P 3 < r A < = P 1 < Z < = P < Z < 1 = P Z < 1 P Z < = = P 37 < r B < = P 3 3 < Z < = P 1 6 < Z < 1 6 = P Z < = Como son sucesos independientes, P sistema funcione = P r A P r B = = =

5 ˆ EJERCICIO La media de una variable aleatoria X con distribución normal es veces la desviación típica. Además se verica: P X 6 = Calcula la media y la desviación típica de la variable aleatoria X. Sea µ la media y σ la desviación típica. Se sabe que µ = σ, luego, tipicando la variable, se tiene que P X 6 = P Z 6 µ σ = P Z 6 σ σ = Como, por la tabla normal, se sabe que P Z 1 = 0 813, se tendrá que 6 σ σ = 1 σ = 1 y µ =. ˆ EJERCICIO 3 Una variable aleatoria X se distribuye según una ley normal con varianza. De esta variable aleatoria se sabe que P X = a Calcula la media de la variable X. b Halla P 0 18 X 8. Es una normal Nµ;. a P X = P Z < µ = Por la tabla normal, µ = 0 86 µ = 0 8 b P 0 18 Z 0 8 = P Z = P 0 0 Z 1 = = P Z 1 [1 P Z 0 0] = = ˆ EJERCICIO Una compañía de autobuses conoce que el retraso en la llegada sigue una ley normal, de media µ minutos, y que el 68'6% de los autobuses llegan con un retraso comprendido entre y 8 minutos. a ¾Cuál es la desviación típica? b ¾Cuál es la probabilidad de que un autobús llegue puntual o antes de la hora? c ¾Cuál es la probabilidad de que un autobús llegue con un retraso de más de 10 minutos? a En una distribución Nµ; σ, el 68'6% del total de la población se encuentra en el intervalo µ σ, µ + σ. Aplicando esta propiedad al problema se tiene: } µ σ, µ + σ =, 8 µ σ = µ = 10 µ = ; σ = 6 σ = 3 µ + σ = 8 b P X 0 = P Z > 0 3 = P Z 1 67 = 1 P Z 1 67 = = 0 07 c P X > 10 = P Z > 10 3 = P Z > 1 67 = 1 P Z 1 67 = = 0 07